개발 공부 - [그래프 알고리즘] 순회 - 최소비용신장트리(minimum spanning tree) - 2

 Kruskal의 알고리즘

에지들을 가중치의 오름차순으로 정렬한다.

에지들을 그 순서대로 하나씩 선택해간다.

단, 이미 선택된 에지들과 사이클(cycle)을 형성하면 선택하지 않는다.

n-1개의 에지가 선택되면 종료한다.

: 구현이 간단하지는 않다고 한다. 

이것은 java 소스를 참조하겠음...

Kruskal 알고리즘이란

탐욕적인 방법(greedy method) 을 이용하여 네트워크(가중치를 간선에 할당한 그래프)의 모든 정점을 최소 비용으로 연결하는 최적 해답을 구하는 것

탐욕적인 방법

결정을 해야 할 때마다 그 순간에 가장 좋다고 생각되는 것을 선택함으로써 최종적인 해답에 도달하는 것

탐욕적인 방법은 그 순간에는 최적이지만, 전체적인 관점에서 최적이라는 보장이 없기 때문에 반드시 검증해야 한다.

다행히 Kruskal 알고리즘은 최적의 해답을 주는 것으로 증명되어 있다.

MST(최소 비용 신장 트리) 가 1) 최소 비용의 간선으로 구성됨 2) 사이클을 포함하지 않음 의 조건에 근거하여 각 단계에서 사이클을 이루지 않는 최소 비용 간선을 선택 한다.

참조 : https://gmlwjd9405.github.io/2018/08/29/algorithm-kruskal-mst.html

왜 MST가 찾아지는가?

Kruskal의 알고리즘의 임의의 한 단계를 생각해 보면,

현재까지 알고리즘이 선택한 에지의 집합 :A

A를 포함하는 MST가 존재한다고 가정할 때, 

지난번 참조: 

A가 어떤 MST의 부분집합이고, (S,V-S)는 A를 존중하는 컷이라고 하자,

이 컷을 cross하는 에지들 중 가장 가중치가 작은 에지 (u,v)는 A에 대해서 안전하다.

 

사이클 검사

초기 상태 : 선택된 에지 없음

각각의 연결요소를 하나의 집합으로 표현하여 

사이클이 생기는지, 생기지 않는지 검사하는 것이 중요하다.

모든 노드들을 집합으로 만들어서, 

다음 간선을 이미 선택된 간선들의 집합에 추가할 때 사이클을 생성하는지를 체크한다.

새로운 간선이 이미 다른 경로에 의해 연결되어 있는 정점들을 연결할 때 사이클이 형성된다.

즉, 추가할 새로운 간선의 양끝 정점이 같은 집합에 속해 있으면 사이클이 형성된다.

사이클 생성 여부를 확인하는 방법은 추가하고자 하는 간선의 양끝 정점이 같은 집합에 속해 있는지를 먼저 검사해야 한다.

이거는 그래서 각각의 노드들을 유일한 원소로 가지는 집합을 만들어서 초기화를 하고, 

반복 : 노드 v가 속한 집합을 찾고, u와 v가 속한 두 집합을 하나로 합치는 것이다.

이런 식으로 n-1번 반복하는 식으로 알고리즘을 짜면 된다고 한다.